Monte (montemsk) wrote,
Monte
montemsk

Должен признаться, удивлен. Мои френды сведущи в геометрии не хуже комлекса психо-социальных аспектов взаимоотношений внутри сообществ нетрадиционных меньшинств :)

Ладно, вместо ответа — страница из книжки А.Шеня, которая, собственно, и стала поводом поста про геометрию Лобачевского:


…Вот, говорят, Лобачевский построил неевклидову геометрию, в которой аксиома о параллельных неверна и параллельные прямые пересекаются — можем, можно построить и нетрадиционную алгебру, в которой правила действий другие, и прославиться вслед за ним?

Отступление о Лобачевском

Кстати, о Лобачевском. Если вы прочли предыдущий абзац и не обратили внимание на глупость, в нём содержащуюся, то перечитайте ещё раз. Теперь заметили? Конечно, в геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются — поскольку это просто определение параллельности и ни от каких аксиом не зависит.

А разница в другом — в геометрии Лобачевского через данную точку вне данной прямой можно провести несколько прямых, параллельных данной! Интересно, что это заблуждение (о том, в чём состоит новаторская идея Лобачевского) очень распространено, как вы можете убедиться, порасспросив окружающих — тех, которые вообще что-то слышали о Лобачевском!

История вопроса тут такова. Пятый постулат Евклида (иногда называемый также одиннадцатой аксиомой) формулируется так: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Это — перевод Веселовского; более современный пересказ (Рашевского в предисловии к переводу Оснований геометрии Гильберта) звучит так: всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2d [то есть 180°], эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

В современных учебниках эту формулировку обычно заменяют эквивалентной: через любую точку вне данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. (Отметим, кстати, что возможность проведения параллельной прямой через любую точку вне данной прямой следует из других аксиом, так что в аксиому о параллельных можно включать лишь единственность такой прямой.)

Комментаторы Евклида пытались доказать пятый постулат, но с современной точки зрения эти доказательства просто заменяли его на эквивалентное утверждение (например, о существовании неравных подобных треугольников). Предположив, что пятый постулат неверен, можно вывести из этого предположения много парадоксальных следствий, в безуспешной надежде найти среди них прямое противоречие (и тем самым доказать пятый постулат). Постепенно стали подозревать (и первым опубликовал это предположение Лобачевский), что противоречия нет вовсе, и полученная геометрия (неевклидова, где пятый постулат заменён на противоположное утверждение: через некоторую точку проходят две прямые, параллельные некоторой прямой) хотя и выглядит странно, но логически ничем не хуже евклидовой.

Впоследствии подозрения Лобачевского подтвердились — были построены модели неевклидовой геометрии, которые показали, что в ней нет противоречия (если его нет в евклидовой геометрии).

Исследования по неевклидовой геометрии многое прояснили в основаниях геометрии и способствовали заполнению логических пробелов у Евклида. Как пишет Рашевский в упомянутом предисловии, «подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики и доказательств Евклида, а осуществилось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был совершенно прав. Мы имеем в виду историю V постулата Евклида».
Subscribe

  • (no subject)

    Ну че, выпиливаемся из ЖЖ?

  • (no subject)

    Наверное, я очень изменился. После ухода Макса, и после ухода Ромки, не могу не думать о том, что они где-то тут еще, в ЖЖ... читают свои ленты, и…

  • (no subject)

    Ну что, за Навального?

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments